Question

12．如图，α-MN-β为120°，O∈MN，a∈β，B∈α．∠BON=∠AOM=45°，$OA=OB=\sqrt{2}$，则AB=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 在平面α内，作BC∥MN，在β内，作AD⊥MN于D，DC⊥MN，∠ADC=120°，在△ADC中，Q求出CA，在Rt△ABC中，求解AB．

解答 解：在平面α内，作BC∥MN，在β内，作AD⊥MN于D，DC⊥MN，如图，
可知BC⊥CD，BC⊥AD，BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，
α-MN-β为120°，可得∠ADC=120°，
∠BON=∠AOM=45°，$OA=OB=\sqrt{2}$，
可得AD=OD=1，BC=2，CD=1，
在△ADC中，CA=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CDcos120°}$=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{B{C}^{2}+C{A}^{2}}$=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角的求法与应用，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．