Question

8．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（1，t）到焦点的距离为2，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l₁经过点Q且垂直于x轴．
（Ⅰ）求线段OQ的长；
（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l₂：x=my+b交曲线C于点A和B，交l₁于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l₂是否过定点？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（1，t）到焦点的距离为2，得1+$\frac{n}{4}$=2，所以n=4，由曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=2$\sqrt{x}$，利用导数得切线方程为：y-2=x-1，即可得线段|OQ|
（Ⅱ）设l₂：x=my+b，令x=-1，得y=-$\frac{b+1}{m}$，故E（-1，-$\frac{b+1}{m}$），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x得：y²-4my-4b=0，可得直线PA的斜率为$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}=\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}=\frac{4}{{y}_{1}+2}$，
同理直线PB的斜率为$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，直线PE的斜率为$\frac{2+\frac{b+1}{m}}{2}$，由直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，$\frac{4}{{y}_{1}+2}$+$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2×$\frac{2+\frac{b+1}{m}}{2}$，即$\frac{2b+2}{2m-b+1}=\frac{b+1}{m}$，即可求出b

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（1，t）到焦点的距离为2，得1+$\frac{n}{4}$=2，所以n=4，故抛物线方程为y²=4x，P（1，2），…（2分）
所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=2$\sqrt{x}$，则y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$
故曲线C在点P处的切线斜率k=1，
切线方程为：y-2=x-1，即x-y+1=0，…（3分）
令y=0得x=-1，所以点Q（-1，0），
故线段|OQ|=1，…（4分）
（Ⅱ）由题意知l₁：x=-1，因为l₂与l₁ 相交，所以m≠0，
设l₂：x=my+b，令x=-1，得y=-$\frac{b+1}{m}$，
故E（-1，-$\frac{b+1}{m}$），…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x得：y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，…（7分）
直线PA的斜率为$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}=\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}=\frac{4}{{y}_{1}+2}$，
同理直线PB的斜率为$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，直线PE的斜率为$\frac{2+\frac{b+1}{m}}{2}$，…（8分）
因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，
所以$\frac{4}{{y}_{1}+2}$+$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2×$\frac{2+\frac{b+1}{m}}{2}$，
即$\frac{2b+2}{2m-b+1}=\frac{b+1}{m}$，…（10分）
因为l₂不经过点Q，所以b≠-1，
所以2m-b+1=m，即b=1，…（11分）
故l₂：x=my+1，即l₂恒过定点（1，0）…（12分）

点评 本题考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．