Question

19．已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，且f（0）=0．
则下列命题正确的是①②③．（写出所有正确命题的序号）
①R有极大值，没有极小值；
②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜k＜0；
③对任意x₁，x₂，∈（2，+∞）都有f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）≤$\frac{{f（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）满足f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，可得f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，然后逐一分析三个命题的真假得答案．

解答 解：①∵f′（x）-f（x）=（1-2x）e^-x，
∴f（x）=xe^-x，f′（x）=（1-x）e^-x，
令f′（x）＞0，解得x＜1，令f′（x）＜0，解得x＞1，
∴函数f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值，故①正确；
②∵k=f′（x）=（1-x）e^-x，
∴f″（x）=e^-x（x-2），
令f″（x）＞0，解得x＞2，令f″（x）＜0，解得x＜2，
∴f′（x）在（-∞，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f′（x）_最小值=f′（x）_极小值=f′（2）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
而x→∞时，f′（x）→0，
∴k的取值范围是-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜k＜0，故②正确；
③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，
∴f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）≤$\frac{{f（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$恒成立，故③正确．
∴正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，训练了利用导数求函数的最值，难度较大．