Question

4．过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有（　　）

• A． 6个
• B． 12个
• C． 16个
• D． 18个

Answer 1

分析 计算二面角A-CD-B的大小，得出与底面BCD所成的角为75°的等腰三角形截面与底面三角形交线的位置情况，然后分类求出截面数得答案．

解答 解：作正四面体A-BCD的高AO，连接BO交CD于E，连接AE．
则E为CD的中点，O为△等边三角形BCD的中心．
∴BE⊥CD，AE⊥CD，∴∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．
设AB=2，则BE=$\sqrt{3}$，∴OE=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OB=$\frac{2}{3}$BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，则tan∠AEB=$\frac{OA}{OE}$=$2\sqrt{2}$．
∵tan75°=tan（45°+30°）=2+$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$，∴∠AEB＜75°．
在平面BCD内，以O为圆心，以OA•tan75°为半径作圆O，则圆O在△BCD内部．
∴若截面AMN与底面BCD所成角为75°，则截面AMN与平面BCD的交线为圆O的切线．
（1）若圆O的切线与△BCD的一边平行，如图1所示：则存在6个符合条件的截面三角形AMN．
（2）若圆O的切线过三角形的顶点，不妨设过点B，交CD于M，如图2所示：
则由△ACM≌△BCM可得AM=BM，故截面ABM为符合条件的截面三角形，
显然存在6个这样的截面三角形．
（3）若圆O的切线MN与三角形BCD的两边相交，不妨设与NC交于M，与CD交于N，且BM=CN，
如图3所示：
显然△ABM≌△ACN，故而AM=AN，
∴截面AMN为符合条件的截面三角形．
显然这样的截面也有6个．
综上，符合条件的截面共有18个．
故选：D．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．