Question

14．现有5本不同的书，其中有2本数学书，将这5本书排成一排，则数学书不能相邻且又不同时排在两边的排法有60种；将这5本书分给3个同学，每人至少得1本，则所有不同的分法有150种．

Answer 1

分析 对于第一空：分2步分析：①、将其他三本书全排列，排好后，包括两端有4个空位可用，②、用插空法分析计算数学的安排方法，由分步计数原理计算可得答案；
对于第二空：分析有将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．

解答 解：对于第一空：分2步分析：
①、将其他三本书全排列，有A₃³=6种排法，排好后，包括两端有4个空位可用，
②、在4个空位中任选2个，安排2本数学书，有A₄²=12种排法，
其中数学书同时排在两边的情况有2种排法，
则数学书不能相邻且又不同时排在两边的排法6×（12-2）=60种排法；
对于第二空：将5本不同的书分成满足题意的3组；有1，1，3与2，2，1两种分法，
则分2种情况分析：
①、分成1、1、3的三组时，有C₅³•A₃³=60种分法，
②、分成1、2、2的三组时，有$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$•A₃³=90种分法，
则所有不同的分法有60+90=150种；
故答案为：60，150．

点评 本题考查排列、组合的实际应用，涉及排除法的运用，注意分步计数原理和分类计数原理的综合应用．