Question

6．已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log_a|x|在（-∞，0）上是减函数，又g（x）=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$，则下列选项正确的（　　）

• A． g（-2）＜g（1）＜g（3）
• B． g（1）＜g（-2）＜g（3）
• C． g（3）＜g（-2）＜g（1）
• D． g（-2）＜g（3）＜g（1）

Answer 1

分析 根据题意，由函数f（x）在（-∞，0）上的解析式，结合其在（-∞，0）上是减函数，分析可得a＞1，对于g（x），分析可得为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，据此分析可得答案．

解答 解：根据题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=log_a|x|=log_a（-x），
若函数f（x）=log_a|x|在（-∞，0）上是减函数，即log_a（-x）在在（-∞，0）上是减函数，
则有a＞1，
又g（x）=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$，有g（-x）=a^-x+$\frac{1}{{a}^{-x}}$=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$=g（x），即g（x）=g（-x），则函数g（x）为偶函数，
则有g（-2）=g（2），
当x＞0时，g′（x）=a^xlna-$\frac{1}{{a}^{x}}$lna=lna（a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）为增函数，
则g（1）＜g（2）=g（-2）＜g（3）；
故选：B．

点评 本题考查的知识点是复合函数单调，其中利用复合函数的单调性性质，确定底数a的取值范围是解答本题的关键．