Question

17．若sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），则cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）=（　　）

• A． $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$
• B． -$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$
• D． $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得 tan（θ-$\frac{π}{4}$）的值，可得tanθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ、cos2θ的值，利用两角和差的三角公式求得cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）的值．

解答 解：∵sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），∴θ-$\frac{π}{4}$∈（ $\frac{π}{2}$，π），∴cos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（θ-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tan（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{sin（θ-\frac{π}{4}）}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$，∴tanθ=$\frac{1}{3}$，
∴sin2θ=$\frac{2sinθcosθ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{{tan}^{2}θ+1}$=$\frac{3}{5}$，cos2θ=$\frac{{cos}^{2}θ{-sin}^{2}θ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{1{-tan}^{2}θ}{{tan}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{5}$，
 则cos（2θ+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ=-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{3}{5}$=-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
故选：B．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．