Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值及所对应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式和二倍角，辅助角公式化简，根据周期公式和三角函数的性质求解最小正周期及对称轴；
（2）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质求解出最小值及所对应的x值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x．
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x-sin2x-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x）=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z）
可得：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$
∴函数f（x）的对称轴：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
当2x+$\frac{π}{6}$=π时，函数f（x）取得最小值为：2cosπ=-2，
此时：x=$\frac{5π}{12}$．
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-2，所对应的x值为$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和计算能力．三角函数性质的运用．属于基础题．