Question

11．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{8}{{a}_{1}}$$+\frac{6}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{{a}_{3}}$＞0，S₆=$\frac{63}{32}$
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=-log₂a_n，c_n=a_nb_n，求数列[c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，解方程可得q，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，可得通项公式；
（2）可得b_n=-log₂a_n=-log₂（$\frac{1}{2}$）^n-1=n-1，c_n=a_nb_n=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
$\frac{8}{{a}_{1}}$$+\frac{6}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{{a}_{3}}$＞0，S₆=$\frac{63}{32}$，
可得$\frac{8}{{a}_{1}}$+$\frac{6}{{a}_{1}q}$=$\frac{5}{{a}_{1}{q}^{2}}$＞0，
即为8q²+6q-5=0，
解得q=$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{4}$，
由a₁＞0，
$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{63}{32}$，
可得q=$\frac{1}{2}$，a₁=1，
则a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=-log₂a_n=-log₂（$\frac{1}{2}$）^n-1=n-1，
c_n=a_nb_n=（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
数列[c_n}的前n项和T_n=0•（$\frac{1}{2}$）⁰+1•（$\frac{1}{2}$）+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=0•（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得，
$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得T_n=2-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．