Question

1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求的轨迹与直线y=x+2交于C、D两点，求证：OC⊥OD（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．利用数量积运算性质即可得出．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化简利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）∵点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
∴-x•（-x）+（-2-y）•（4-y）-y²+8=0．
化为：x²=2y．
（2）证明：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化为：x²-2x-4=0．
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=2（x₁+x₂）+x₁•x₂+4，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=2（x₁+x₂）+2x₁•x₂+4=4-8+4=0．
∴OC⊥OD．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．