Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1+cos2x}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}+x）}$+$\sqrt{6}$sinx
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数y=f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）=$\frac{1+cos2x}{\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}+x）}$+$\sqrt{6}$sinx
=$\frac{{2cos}^{2}x}{\sqrt{2}•cosx}$+$\sqrt{6}$sinx=$\sqrt{2}$cosx+$\sqrt{6}$sinx=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
故函数的定义域为{x|x≠2kπ±$\frac{π}{2}$}，k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函数f（x）的增区间为（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$ ），k∈Z．
（Ⅱ）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2$\sqrt{2}$，
当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．