Question

4．已知函数f（x）=（x-a）|x|是定义在R上的奇函数，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）若不等式mx²+3m＜f（x）对任意x∈[-3，3]成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由f（-x）+f（x）=0恒成立即可求得a值；
（2）把（1）中求得的a值代入f（x），可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤3}\\{-{x}^{2}，-3≤x＜0}\end{array}\right.$，当x∈[0，3]时，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜x²恒成立，分离参数m，可得m＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，求出$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$得范围可得m的范围；同理求得x∈[-3，0）时m的范围，取交集可得使不等式mx²+3m＜f（x）对任意x∈[-3，3]成立的实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）|x|是定义在R上的奇函数，
∴有f（-x）+f（x）=0，即（-x-a）|-x|+（x-a）|x|=-2a|x|=0恒成立，得a=0；
（2）由（1）知a=0，∴f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤3}\\{-{x}^{2}，-3≤x＜0}\end{array}\right.$，
当x∈[0，3]时，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜x²恒成立，
即m＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，
当x=0时，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}=0$，当x∈（0，3]时，$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}=\frac{1}{1+\frac{3}{{x}^{2}}}∈（0，\frac{3}{4}]$，
∴m＜0；
当x∈[-3，0）时，由mx²+3m＜f（x），可得mx²+3m＜-x²恒成立，
即m＜-$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$恒成立，当x∈[-3，0）时，-$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+3}$=-$\frac{1}{1+\frac{3}{{x}^{2}}}∈[-\frac{3}{4}，0）$，
∴m$＜-\frac{3}{4}$．
综上，若不等式mx²+3m＜f（x）对任意x∈[-3，3]成立，实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．