Question

19．（1）设z=$\frac{{（{1-4i}）（{1+i}）+2+4i}}{3+4i}$，求|z|．
（2）z∈C，解方程z•$\overline z-2zi=1+2\sqrt{2}$i．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由z•$\overline z-2zi=1+2\sqrt{2}$i．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

解答 解：（1）z=$\frac{1+i-4i+4+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$，
∴|z|=$\frac{\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由z•$\overline z-2zi=1+2\sqrt{2}$i．
可得：x²+y²-2（x+yi）i=x²+y²+2y-2xi=1+2$\sqrt{2}$i，
∴x²+y²+2y=1，-2x=2$\sqrt{2}$，
解得x=-$\sqrt{2}$，y=-1．
∴z=-$\sqrt{2}$-i．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．