Question

14．抛物线的焦点F是圆x²+y²-4x=0的圆心．
（1）求该抛物线的标准方程；
（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A，B，C，D，求|AB|+|CD|．

Answer 1

分析 （1）求出圆的圆心坐标，然后求解抛物线方程．
（2）求出直线方程，然后求解|AB|加上圆的直径|CD|即可求出|AB|+|CD|．

解答 解：（1）圆x²+y²-4x=0的圆心（2，0），半径为：2．
抛物线的焦点F是圆x²+y²-4x=0的圆心（2，0），可得抛物线的标准方程：y²=8x．
（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，可得直线方程：y=2（x-2）=2x-4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，
可得：x²-6x+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{5}•\sqrt{{6}^{2}-4×4}$=10．
|CD|=4．
|AB|+|CD|=14．

点评 本题考查抛物线方程的求法，抛物线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．