Question

4．已知二次函数f（x）=x²-4x+b的最小值是0，不等式f（x）＜4的解集为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B={x||x-2|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数f（x）=x²-4x+b的最小值是0，得b=4，由此利用不等式f（x）＜4的解集为A，能求出集合A．
（2）当a≤0时，集合B=∅?A符合题意，当a＞0时，集合B={x|2-a＜x＜2+a}，由此利用集合B是集合A的子集，列出不等式组，能求出结果．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=x²-4x+b的最小值是0，
∴$\frac{4×1×b-16}{4×1}$=0，解得b=4，
∵不等式f（x）＜4的解集为A，
∴解不等式x²-4x+4＜4，得A={x|0＜x＜4}．
（2）当a≤0时，集合B=∅?A符合题意，
当a＞0时，集合B={x|2-a＜x＜2+a}，
∵集合B是集合A的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥0}\\{2+a≤4}\end{array}\right.$，解得0＜a≤2，
综上：a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查二次函数性质、一元二次不等式、子集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．