Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{e}$为单位向量，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$的最大值为$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 运用向量数量积的定义和性质，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$，再由向量数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+9+2×2×3×$\frac{1}{2}$=19，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{e}$|•cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{e}$＞
=$\sqrt{19}$cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{e}$＞≤$\sqrt{19}$，
当cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{e}$＞=1，即（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{e}$同向共线时，
取得最大值$\sqrt{19}$．
故答案为：$\sqrt{19}$．

点评 本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查化简运算能力，属于中档题．