Question

19．如图，等边△ABC中，AB=2，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°；
（Ⅰ）若BM=1，求CM；
（Ⅱ）若∠AMB=90°，求sin∠ABM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理即可求出答案；
（Ⅱ）延长BM交AC于点D，连接CM，设∠ABM=α，0＜α＜60°，根据角的关系可得∠MCB=α，根据正弦定理和同角的三角函数的关系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）在△BMC中，由余弦定理可得BC²=BM²+CM²-2BM•CM•cos∠BMC，
设CM=x，∵等边△ABC中，AB=2，∠BMC=120°，BM=1，
∴4=1+x²-2x•（-$\frac{1}{2}$），
解得x=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
（Ⅱ）延长BM交AC于点D，连接CM，设∠ABM=α，0＜α＜60°
∵∠AMB=90°，∠BCM=120°，
∴∠DMC=60°，BM=ABcosα=2cosα
∵∠BMC=60°-α=∠DMC-∠MCB，
∴∠MCB=α，
在△BMC中，由正弦定理可得，
$\frac{BM}{sin∠BCM}$=$\frac{BC}{sin∠BMC}$，
∴$\frac{2cosα}{sinα}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sinα，
∵cos²α+sin²α=1，
∴$\frac{7}{3}$sin²α=1，
∴sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
即sin∠ABM=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形中的边角关系，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题