Question

14．如图所示，在边长为1的等边△ABC中，AA₁=BB₁=CC₁=x（0＜x＜1），△A₁B₁C₁的面积为y．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形面积公式得y=${S}_{△ABC}-3{S}_{△{A}_{1}B{B}_{1}}$，由此能求出y与x的函数关系式．
（2）推导出y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{16}$，当x=$\frac{1}{2}$时，y取最小值y_min=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

解答 解：（1）∵在边长为1的等边△ABC中，
AA₁=BB₁=CC₁=x（0＜x＜1），△A₁B₁C₁的面积为y．
∴y=${S}_{△ABC}-3{S}_{△{A}_{1}B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$-3×$\frac{1}{2}×x×（1-x）×sin60°$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x（1-x）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴y与x的函数关系式为y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，（0＜x＜1）．
（2）∵y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3x²-3x+1）
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
∴当x=$\frac{1}{2}$时，y取最小值y_min=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查三角函数恒等式、三角函数的周期、单调区间等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．