Question

3．设函数f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R
（ I）求证：当a=-$\frac{1}{2}$时，不等式lnf（x）＞1成立；
（II）已知关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）求出：当a=-$\frac{1}{2}$时，函数的分段函数形式，求出函数的最小值，然后证明不等式lnf（x）＞1成立；
（II）利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，列出不等式求解即可．

解答 解：（I）证明：由$f（x）\;=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|=\left\{\begin{array}{l}-2x+2x＜-\frac{1}{2}\\ 3-\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}\\ 2x-2\;\;x＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
得函数f（x）的最小值为3，从而f（x）≥3＞e，所以lnf（x）＞1成立．
（ II）由绝对值的性质得$f（x）=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x-a}|≥|{（x-\frac{5}{2}）-（x-a）}|=|{a-\frac{5}{2}}|$，
所以f（x）最小值为$|{\frac{5}{2}-a}|$，从而$|{\frac{5}{2}-a}|≤a$，
解得$a≥\frac{5}{4}$，
因此a的取值范围为$[\frac{5}{4}，+∞）$．

点评 本题考查绝对值的几何意义，不等式的证明，函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．