Question

15．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，P是平面AB₁D₁内一点，满足A₁P=$\sqrt{5}$，Q是平面BC₁D内异于B的一点，则直线A₁P与直线BQ所成角的余弦值的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 可得点P的轨迹是：在面AB₁D₁内以O为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆．
由BQ∥面AB₁D₁内，得直线A₁P与直线BQ所成角就是A₁P与面AB₁D₁内直线所成角．
所成角的最小值为斜线A₁P与面AB₁D₁所成角，根据异面直线所成角定义，直线A₁P与直线BQ所成角的最大值为$\frac{π}{2}$．即可求解

解答 解：如图，连接A₁C交面AB₁D₁内一点O，易得A₁O⊥平面AB₁D₁，${A}_{1}O=\frac{1}{3}{A}_{1}C=\sqrt{3}$
∵P是平面AB₁D₁内一点，满足A₁P=$\sqrt{5}$，∴点P的轨迹是：在面AB₁D₁内以O为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆．
∵BQ∥面AB₁D₁内，∴直线A₁P与直线BQ所成角就是A₁P与面AB₁D₁内直线所成角．
所成角的最小值为斜线A₁P与面AB₁D₁所成角，∠A₁PO，cos$∠{A}_{1}PO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
根据异面直线所成角定义，直线A₁P与直线BQ所成角的最大值为$\frac{π}{2}$．
直线A₁P与直线BQ所成角的余弦值的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]，
故答案为：[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]．

点评 本题考查了空间线面位置关系，异面直线夹角的求解，考查了空间想象能力，属于中档题