Question

7．数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}-2}$．
（1）证明：a_n＜a_n+1；
（2）证明：a_na_n+1≥2n+1；
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，证明：2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n＞0，a_n²=a_na_n+1-2，求出a_n+1，由不等式的性质即可得证；
（2）运用（1）的结论和不等式的性质，推理n=1，n≥2时，由累加法，即可得证；
（3）运用分析法证明，结合a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，两边平方可得，由a₂=3，有a_n+1²-a_n²∈（4，$\frac{40}{9}$），累加即可得证．

解答 证明：（1）数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}-2}$．
可得a_n＞0，a_n²=a_na_n+1-2，
可得a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$＞a_n，
即a_n＜a_n+1；
（2）由（1）可得a_na_n-1＜a_n²=a_na_n+1-2，
可得a_na_n+1-a_na_n-1＞2，
n=1时，a_na_n+1=a₁²+2=3，
2n+1=3，则原不等式成立；
n≥2时，a_na_n+1＞3+2（n-1）=2n+1，
综上可得，a_na_n+1≥2n+1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，要证2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2），
即证2$\sqrt{n}$＜a_n＜$\sqrt{5n}$，
只要证4n＜a_n²＜5n，
由a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，可得a_n+1²=a_n²+4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$，
且a₂=3，
a_n+1²-a_n²=4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＞4，
且4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜4+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$=4+$\frac{4}{9}$=$\frac{40}{9}$，
即有a_n+1²-a_n²∈（4，$\frac{40}{9}$），
由n=2，3，…，累加可得
a_n²-a₂²∈（4（n-2），$\frac{40（n-2）}{9}$），
即有a_n²∈（4n+1，$\frac{40n+1}{9}$）⊆（4n，5n），
故2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2）．

点评 本题考查数列不等式的证明，注意运用不等式的性质和分析法和累加法，考查推理能力和运算能力，属于难题．