Question

19．已知平面内三向量$\overrightarrow a$=（2，1），$\overrightarrow b$=（-1，3），$\overrightarrow c$=（-2，2）
（1）求满足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的实数m，n；
（2）若 $（2\overrightarrow a+k\overrightarrow{c）}$∥$（\overrightarrow b+\overrightarrow{c）}$求实数k的值；
（3）若$（2\overrightarrow a+k\overrightarrow{c）}$⊥$（\overrightarrow b+\overrightarrow{c）}$求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）$m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$=m（-1，3）+n（-2，2）=（-m-2n，3m+2n）=（2，1），利用向量相等即可得出．
（2）$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{c}$=2（2，1）+k（-2，2）=（4-2k，2+2k）．$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（-3，5）．利用向量共线定理即可得出．
（3）由（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：（1）$m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$=m（-1，3）+n（-2，2）=（-m-2n，3m+2n）=（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m-2n=2}\\{3m+2n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{3}{2}$，n=-$\frac{7}{4}$．
（2）$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{c}$=2（2，1）+k（-2，2）=（4-2k，2+2k）．
$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（-3，5）．
∵$（2\overrightarrow a+k\overrightarrow{c）}$∥$（\overrightarrow b+\overrightarrow{c）}$，∴5（4-2k）-（-3）（2+2k）=0，解得k=$\frac{13}{2}$．
（3）∵$（2\overrightarrow a+k\overrightarrow{c）}$⊥$（\overrightarrow b+\overrightarrow{c）}$，由（2）可得：-3（4-2k）+5（2+2k）=0．
∴k=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、向量相等、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．