Question

9．已知数列{a_n}满足关系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），设b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求a_n及S_n；
（3）设c_n=S_n+na_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足关系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），n≥2时，S_n-1+a_n-1=$\frac{n-2}{（n-1）n}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$，代入可得b_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$）+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}{b}_{n-1}$．n=1时，2a₁=0，解得a₁=0．b₁=$\frac{1}{2}$，即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．可得a_n．即可得出S_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-a_n．
（3）c_n=S_n+na_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$．利用错位相减法即可得出．

解答 （1）证明：数列{a_n}满足关系式S_n+a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$（n∈N*），
n≥2时，S_n-1+a_n-1=$\frac{n-2}{（n-1）n}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$，
∴b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{n（n-1）}$）+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}+\frac{1}{n（n-1）}]$=$\frac{1}{2}{b}_{n-1}$．
n=1时，2a₁=0，解得a₁=0．
又b₁=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}为等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴S_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-a_n=$\frac{n-1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（3）证明：c_n=S_n+na_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$．
数列{c_n}的前n项和T_n=0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{4}[1-\frac{1}{{2}^{n-1}}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$＜1．
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．