Question

19．设|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，∠AOB=60°，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=2（λ≥0，μ≥0），则$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 由条件求得|$\overrightarrow{OP}$|²，用数量积的几何意义求出$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影x，并用λ表示，借助于二次函数求x 范围．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，∠AOB=60°，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=2（λ≥0，μ≥0），
∴|$\overrightarrow{OP}$|²=[λ$\overrightarrow{OA}$+（2-λ）$\overrightarrow{OB}$]²=${4λ}^{2}+4（2-λ）^{2}+2λ（2-λ）\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=4λ²-8λ+16=4（λ-1）²+12，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•（λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$）=4λ+2μ，
设$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影为x，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=x|$\overrightarrow{OP}$|=x$\sqrt{4{λ}^{2}-8λ+16}$=4λ+2μ=4，
所以x=$\frac{4}{\sqrt{4{λ}^{2}-8λ+16}}$=$\frac{2}{\sqrt{{λ}^{2}-2λ+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{（λ-1）^{2}+3}}$，λ≥0，
所以x取值范围为（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
故答案为：（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，是中档题