Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由已知结合$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）可得$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=0$，展开数量积公式可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：由题意知：$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
由$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），得$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0，
即$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=0$，
∴$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2×1×1}=\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查利用数量积求斜率的夹角，是中档题．