Question

20．甲、乙两人做定点投篮游戏，己知甲每次投篮命中率均为p，乙每次投篮命中的概率均为$\frac{1}{2}$，甲投篮3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（1）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；
（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由甲每次投篮命中率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$，求出p=$\frac{2}{3}$，由此能求出甲投篮3次，至少命中2次的概率．
（2）甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（1）∵甲每次投篮命中率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为$\frac{1}{27}$，
∴（1-p）³=$\frac{1}{27}$，解得p=$\frac{2}{3}$，
∴甲投篮3次，至少命中2次的概率：
P=（$\frac{2}{3}$）³+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{20}{27}$．
（2）甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）（\frac{1}{3}）^{2}$+（$\frac{1}{2}$）²${C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{6}{36}$，
P（X=2）=（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{2}$）²（$\frac{2}{3}$）²+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）{C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=（$\frac{1}{2}$）²${C}_{2}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）$+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{12}{36}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{36}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$

X的数学期望E（X）=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{6}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{12}{36}+4×\frac{4}{36}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．