Question

12．（Ⅰ）用综合法证明：a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$（a，b，c均为正实数）；
（Ⅱ）已知：x∈R，a=x²-1，b=4x+5，求证：a，b中至少有一个不小于0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）=$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+（ $\sqrt{b}$-$\sqrt{c}$）²+（ $\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）²≥0，可得2（a+b+c）≥2（ $\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$），从而证得结论．
（Ⅱ）用反证法，假设 a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x²-1+4x+5=x²+4x+4=（x+2）²≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，命题得证．

解答 证明：（Ⅰ）由于2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+（ $\sqrt{b}$-$\sqrt{c}$）²+（$\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）²≥0，
∴2（a+b+c）≥2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
∴a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$．
（Ⅱ）证明：假设a，b都小于0，即a＜0，b＜0，则a+b＜0．
又a+b=x²-1+4x+5=x²+4x+4=（x+2）²≥0，
这与假设所得a+b＜0矛盾，故假设不成立．
∴a，b中至少有一个不小于0．

点评 本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、分析法证（执果索因）明不等式，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．属于中档题．