Question

17．函数y=$\frac{1}{2}$-sin²x+$\sqrt{3}$sin xcosx的单调増区间为（　　）

• A． [2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）
• B． [2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• C． [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，通过正弦函数的单调性求解即可．

解答 解：函数y=$\frac{1}{2}$-sin²x+$\sqrt{3}$sin xcosx=-sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$
=-$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：k$π-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴函数y=$\frac{1}{2}$-sin²x+$\sqrt{3}$sin xcosx的单调増区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．