Question

1．已知偶函数f（x）满足f（x）=f（π-x），当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f（x）=2^x-cosx，则函数f（x）在区间[-π，π]内的零点个数为（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 根据题意，由数形结合法分析可得函数y=2^x与y=cosx有2个不同的交点，即函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有2个零点，由函数的奇偶性分析可得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有2个零点，再结合f（x）满足f（x）=f（π-x）分析可得f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上有2个零点，可得函数f（x）在区间[0，π]内的有4个零点，函数f（x）在区间[-π，0]内的有4个零点，

解答 解：根据题意，当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，
f（x）=2^x-cosx，
若f（x）=2^x-cosx=0，即2^x=cosx，
分析可得：函数y=2^x与y=cosx有2个不同的交点，则函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有2个零点，
又由函数f（x）为偶函数，函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有2个零点，
f（x）满足f（x）=f（π-x），
即函数f（x）的图象关于x=$\frac{π}{2}$对称，则函数f（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上有2个零点，
函数f（x）在区间[0，π]内的有4个零点，函数f（x）在区间[-π，0]内的有4个零点，
∴函数f（x）在区间[-π，π]内的零点个数为：7
故选：B．

点评 本题考查函数零点的判定，涉及函数奇偶性周期性的性质，根据函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键．