Question

13．函 数y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*，y≠1）的最大值为a_n，最小值为b_n且c_n=4（a_nb_n-$\frac{1}{2}$）
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）求f（n）=$\frac{{c}_{n}}{（n+36）{c}_{n+1}}$（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析 （1）将函数化为关于x的方程，由方程有解的条件：判别式不小于0，结合y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$=0的两根为b_n，a_n，运用韦达定理，即可得到所求通项公式；
（2）求得f（n），令4n-3=t（t≥1且t为正整数），可得n=$\frac{t+3}{4}$，化为t的关系式，再由基本不等式和对勾函数的性质，结合n为整数，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由已知，y=$\frac{{x}^{2}-x+n}{{x}^{2}+1}$（n∈N^*，y≠1）的定义域为R，
则x²（y-1）+x+y-n=0方程有解，
即有△≥0即1-4（y-1）（y-n）≥0，
即y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$≤0的解集[b_n，a_n]，
即y²-（n+1）y+n-$\frac{1}{4}$=0的两根为b_n，a_n，
可得a_nb_n=n-$\frac{1}{4}$，
又因为c_n=4（a_nb_n-$\frac{1}{2}$），
则c_n=4n-3，n∈N^*；
（2）f（n）=$\frac{{c}_{n}}{（n+36）{c}_{n+1}}$=$\frac{4n-3}{（n+36）（4n+1）}$
=$\frac{4n-3}{4{n}^{2}+145n+36}$，
令4n-3=t（t≥1且t为正整数），可得n=$\frac{t+3}{4}$，
则g（t）=$\frac{t}{\frac{（t+3）^{2}}{4}+\frac{145（t+3）}{4}+36}$
=$\frac{1}{t+\frac{588}{t}+151}$，
由t+$\frac{588}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{588}{t}}$=28$\sqrt{3}$，
当且仅当t=$\frac{588}{t}$，可得t=14$\sqrt{3}$，
当t=21时，n=6，t+$\frac{588}{t}$=49，
当t=22，23，24时，n不为整数；
当t=25时，n=7时，t+$\frac{588}{t}$=48+$\frac{13}{25}$；
则当n=7时，g（t）取得最大值，
即f（n）取得最大值$\frac{1}{48+\frac{13}{25}+151}$=$\frac{25}{4988}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用函数方程的转化思想，考查数列的最大值的求法，注意运用基本不等式和对勾函数的性质，考查运算能力，属于中档题．