Question

3．设f（x）的定义域是R，则下列命题中不正确的是（　　）

• A． 若f（x）是奇函数，则f（f（x））也是奇函数
• B． 若f（x）是周期函数，则f（f（x））也是周期函数
• C． 若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数
• D． 若方程f（x）=x有实根，则方程f（f（x））=x也有实根

Answer 1

分析 由奇函数的概念判断A正确；由周期函数的概念判断B正确；举例说明C错误；设出方程f（x）=x得实根为x₀，推得x₀也是方程f（f（x））=x的实根说明D正确．

解答 解：函数f（x）的定义域是R．
对于A，若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），∴f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），则f（f（x））也是奇函数，故A正确；
对于B，若f（x）是周期函数，不妨设正确为T，则f（T+x）=f（x），∴f（f（T+x））=f（f（x）），则f（f（x））也是周期函数，故B正确；
对于C，若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数不正确，如f（x）=-x，则f（f（x））=f（-x）=x；
对于D，若方程f（x）=x有实根，不妨设其实根为x₀，则f（x₀）=x₀，∴f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，即x₀也是方程f（f（x））=x得实根．
∴不正确的命题是C，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了抽象函数的性质，是中档题．