Question

12．已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，g（x）=|x+1|+|x-a|
（1）求f（x）≥1的解集
（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t）．求a的取位范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得g（x）_min≥f（x）_max，利用绝对值三角不等还分别求得g（x）_min 和f（x）_max，解不等式可得g（x）_min≥f（x）_max，求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|-|2x-3|≥1，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（3-2x）≥1}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1-（3-2x）≥1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1-（2x-3）≥1}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{3}{2}$≥x≥$\frac{3}{4}$，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
综上可得，不等式的解集为{x|x≥$\frac{3}{4}$}．
（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f（t），可得g（x）_min≥f（x）_max．
∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|≤|2x+1-（2x-3）|=4，∴f（x）_max=4．
∵g（x）=|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|a+1|，故g（x）_min=|a+1|，
∴|a+1|≥4，∴a+1≥4，或a+1≤-4，求得a≥3，或a≤-5，
故要求的a的范围为{x|a≥3，或a≤-5 }．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．