Question

1．已知在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，曲线C₂的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=8，
（I）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（II）若C₁与C₂交于两点A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去C₁的参数方程中的参数t，即可得到C₁的普通方程；把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入极坐标方程即可求得C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）联立C₁的普通方程与C₂的直角坐标方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B两点横坐标的和与积，再由弦长公式求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y+2=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
∴x-1=y+2，即y=x-3；
由ρ²（1+sin²θ）=8，得ρ²+ρ²sin²θ=8，
即x²+y²+y²=8，
∴C₂的直角坐标方程为x²+2y²=8；
（Ⅱ）若C₁与C₂交于两点A，B，可设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x-3\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y，可得x²+2（x-3）²=8，
整理得3x²-12x+10=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=4，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}-\frac{40}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．