Question

10．若数列{a_n}的前n项和S_n=3×2ⁿ-3，数列{b_n}满足b_n=a_n²，则数列{b_n}的前100项的和为（　　）

• A． 3×4¹⁰⁰-3
• B． 3×4¹⁰⁰
• C． 2×4¹⁰⁰
• D． 2×4¹⁰⁰-3

Answer 1

分析 利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出${a}_{n}=3×{2}^{n-1}$．从而得到b_n=a${\;}_{n}^{2}$=9×4^n-1，由此能求出数列{b_n}的前100项的和．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=3×2ⁿ-3，
∴当n=1时，a₁=S₁=3×2-3=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3×2ⁿ-3）-（3×2^n-1-3）=3×2^n-1，
当n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}=3×{2}^{n-1}$．
∵数列{b_n}满足b_n=a_n²，∴b_n=a${\;}_{n}^{2}$=9×4^n-1，
∴数列{b_n}的前100项的和：
${T}_{100}=\frac{9×（1-{4}^{100}）}{1-4}$=3×4¹⁰⁰-3．
故选：A．

点评 本题考查数列前100项和的求法，考查数列的通项公式、等比数列前n项和公式等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．