Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设m＞n＞0，求证：lnm-lnn＞$\frac{2（m-n）}{m+n}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的单调性，列出不等式，结合基本不等式求解a的范围即可．
（2）利用分析法转化所证明的不等式，结合（1）函数的单调性证明即可．

解答 （本题满分15分）
解：（1）函数f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，
可得${f^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{{a（{x+1}）-a（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}-2ax}}{{x{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{{x^2}+（{2-2a}）x+1}}{{x{{（{x+1}）}^2}}}$，…（2分）
因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）恒成立，所以$2a-2≤x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）恒成立，
因为$x+\frac{1}{x}≥2$，当且仅当x=1等号成立，所以2a-2≤2，解得：a≤2．…（8分）
（2）$要证lnm-lnn＞\frac{{2（{m-n}）}}{m+n}，只需证ln\frac{m}{n}＞\frac{{2（{\frac{m}{n}-1}）}}{{\frac{m}{n}+1}}，只需证ln\frac{m}{n}-\frac{{2（{\frac{m}{n}-1}）}}{{\frac{m}{n}+1}}＞0$，…（10分）
设$h（x）=lnx-\frac{2（x-1）}{x+1}$，由（1）可知h（x）在（0，+∞）单调递增，
因为$\frac{m}{n}＞1$，所以h（m）＞h（1）=0，…（13分）
即$ln\frac{m}{n}-\frac{{2（\frac{m}{n}-1）}}{{\frac{m}{n}+1}}＞0$，所以原等式成立．…（15分）

点评 本题考查函数的导数的应用，分析法以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．