Question

17．已知实数x，y满足关系$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x-y≤2\\ 1≤y≤3\end{array}\right.$，则$z=\frac{1}{2}x-y$的取值范围为（-$\frac{7}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作出可行域，目标函数$z=\frac{1}{2}x-y$可化为y=$\frac{1}{2}$x-z，可看作斜率为$\frac{1}{2}$的直线，平移直线可得结论．

解答 解：作出实数x，y满足关系$\left\{\begin{array}{l}x+y≥2\\ x-y≤2\\ 1≤y≤3\end{array}\right.$，所对应的可行域，（如图阴影），
目标函数z=$\frac{1}{2}$x-y可化为y=$\frac{1}{2}$x-z，可看作斜率为$\frac{1}{2}$的直线，
平移直线可知，当直线经过点A（-1，3）时，z取最小值-$\frac{7}{2}$，
当直线经过点B（5，3）时，z取最大值$-\frac{1}{2}$，
∴z=2x-y的取值范围是（$-\frac{7}{2}$，$-\frac{1}{2}$），
故答案为：（$-\frac{7}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．