Question

7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若A₁A=A₁C，点A₁在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C交BC₁于点E，连结DE．由三角形中位线定理可得DE∥A₁C，再由线面平行的判定可得A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）取AC的中点O，连结A₁O，由点A₁ 在面ABC上的射影在AC上，且A₁A=A₁C，可得A₁O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O-xyz，设A₁O=a．
由AC=BC=2，∠ACB=120°，可得B，C，C₁，D的坐标，求出面BC₁D的一个法向量，由BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$列式求得a．可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的高，再由棱柱的体积公式求得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结B₁C交BC₁于点E，连结DE．
则E是B₁C的中点，又D为A₁B₁ 的中点，∴DE∥A₁C，
且DE?面BC₁D，A₁C?面BC₁D，
∴A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）解：取AC的中点O，连结A₁O，
∵点A₁ 在面ABC上的射影在AC上，且A₁A=A₁C．
∴A₁O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
设A₁O=a．
∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（$-2，\sqrt{3}，0$），C（-1，0，0），C₁（-2，0，a），D（$-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，a$），
$\overrightarrow{BC}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，-\sqrt{3}，a）$，$\overrightarrow{{C}_{1}D}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$．
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为面BC₁D的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{3}y+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=-a，则$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}a，-a，-\sqrt{3}）$，
由BC与平面BC₁D所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即
|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞|=|$\frac{\sqrt{3}a+\sqrt{3}a}{2\sqrt{4{a}^{2}+3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，可得a=$\sqrt{3}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 的高为$\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{△ABC}•a=\frac{1}{2}×2×2×sin120°×\sqrt{3}=3$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．