Question

16．在△ABC中，若a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，则cos（$\frac{π}{2}$-A）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求cos（$\frac{π}{2}$-A），利用余弦定理，基本不等式可求bc≤3，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，则cos（$\frac{π}{2}$-A）=sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：2²=b²+c²-2×b×c×$\frac{1}{3}$≥2bc-$\frac{2}{3}$bc，解得：bc≤3，（当且仅当b=c时等号成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．．