Question

8．已知直线l：$\sqrt{3}$x-y+6=0与圆x²+y²=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，两条垂线分别与y轴交于C，D两点，则|CD|=（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，联立直线方程和圆的方程，利用弦长公式求出|AB|，再求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，

过D作DG⊥AC，垂足为G，则AB=DG．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+6=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+3\sqrt{3}x+6=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-3\sqrt{3}$，x₁x₂=6．
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{（-3\sqrt{3}）^{2}-24}=2\sqrt{3}$．
∴|DG|=2$\sqrt{3}$．
则|CD|=$\frac{|DG|}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．