Question

13．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx-ax+1，当x∈（-2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=2．

Answer 1

分析 由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为-1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）为最大值-1，解方程可得a的值．

解答 解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，
由当x∈（-2，0）时，函数f（x）的最小值为1，
可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为-1．
由f（x）=alnx-ax+1的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-a=$\frac{a（1-x）}{x}$，
由函数在（ 0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．
最大值为f（1）=1-a=-1，
解得a=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的奇偶性的定义和图象、性质，考查导数的运用：求单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．