Question

3．函数f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x+φ）+sinx，x∈R，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的图象过点（$\frac{π}{2}$，4），则f（x）的最小值为-5．

Answer 1

分析 根据f（$\frac{π}{2}$）=4求出φ的值，再化简f（x），利用三角函数的图象与性质求出f（x）的最小值．

解答 解：根据题意，f（$\frac{π}{2}$）=3$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）+sin$\frac{π}{2}$=-3$\sqrt{2}$sinφ+1=4，
∴sinφ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+sinx=3cosx+4sinx=5sin（x+θ），
其中tanθ=$\frac{4}{3}$；
∴sin（x+θ）=-1时，f（x）取得最小值-5．
故答案为：-5．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．