Question

19．已知f（x）=x²+2f′（1）x，则${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+f（x））dx=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$+$\frac{π}{2}$
• B． -$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{2}$
• C． $\frac{5}{3}$+$\frac{π}{4}$
• D． -$\frac{5}{3}$+$\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 f（x）=x²+2f′（1）x，求导可得：f′（x）=2x+2f′（1），令x=1可得：f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）．可得f（x）=x²-4x，再利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：∵f（x）=x²+2f′（1）x，
∴f′（x）=2x+2f′（1），令x=1可得：f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=-2．
∴f（x）=x²-4x，
∴${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+f（x））dx=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x²-4x）dx
=${∫}_{0}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+$（\frac{{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}）{|}_{0}^{1}$
=$\frac{1}{4}$×π+$\frac{1}{3}-2$　
=$\frac{π}{4}$-$\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了微积分基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．