Question

10．已知数列{a_n}满足，a₁=1，a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$．
（1）求证：a_n≥$\frac{2}{3}$；
（2）求证：|a_n+1-a_n|≤$\frac{1}{3}$；
（3）求证：|a_2n-a_n|≤$\frac{10}{27}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$．可得a₂，a₃，a₄，猜想：$\frac{2}{3}$≤a_n≤1．利用数学归纳法证明即可．
（2）当n=1时，$|{a_1}-{a_2}|=\frac{1}{3}$，当n≥2时，$（{a_n}+\frac{1}{2}）（{a_{n-1}}+\frac{1}{2}）=（{a_n}+\frac{1}{2}）•\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{{2{a_n}}}≥1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，利用不等式的性质进而得出结论．
（3）当n=1时，|a₂-a₁|=$\frac{1}{3}$＜$\frac{10}{27}$；当n≥2时，|a_2n-a_n|≤|a_2n-a_2n-1|+|a_2n-1-a_2n-2|+…+|a_n+1-a_n|，通过放缩即可证明．

解答 证明：（1）∵a₁=1，a_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$．
∴a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{6}{7}$，a₄=$\frac{14}{19}$，
猜想：$\frac{2}{3}$≤a_n≤1．
下面用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，命题显然成立；
（ii）假设n=k时，$\frac{2}{3}≤{a}_{k}$≤1成立，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{{a}_{k}+\frac{1}{2}}$≤$\frac{1}{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}$＜1．
${a_{k+1}}=\frac{1}{{{a_k}+\frac{1}{2}}}≥\frac{1}{{1+\frac{1}{2}}}=\frac{2}{3}$，即当n=k+1时也成立，
所以对任意n∈N^*，都有$\frac{2}{3}≤{a_n}≤1$．
（2）当n=1时，$|{a_1}-{a_2}|=\frac{1}{3}$，
当n≥2时，∵$（{a_n}+\frac{1}{2}）（{a_{n-1}}+\frac{1}{2}）=（{a_n}+\frac{1}{2}）•\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{{2{a_n}}}≥1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$|{a_{n+1}}-{a_n}|=|{\frac{1}{{{a_n}+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}+\frac{1}{2}}}}|=\frac{{|{a_n}-{a_{n-1}}|}}{{（{a_n}+\frac{1}{2}）（{a_{n-1}}+\frac{1}{2}）}}≤\frac{2}{3}|{a_n}-{a_{n-1}}|$$≤…≤{（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}|{a_2}-{a_1}|=\frac{1}{3}•{（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}$．
（3）当n=1时，|a₂-a₁|=$\frac{1}{3}$＜$\frac{10}{27}$；
当n≥2时，|a_2n-a_n|≤|a_2n-a_2n-1|+|a_2n-1-a_2n-2|+…+|a_n+1-a_n|$≤\frac{1}{3}[{{{（{\frac{2}{3}}）}^{2n-2}}+{{（{\frac{2}{3}}）}^{2n-3}}+…+{{（{\frac{2}{3}}）}^{n-1}}}]={（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}-{（{\frac{2}{3}}）^{2n-1}}≤\frac{2}{3}-{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{10}{27}$．

点评 本题考查了数列递推关系、不等式的性质、数学归纳法、等比数列的通项公式与求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．