Question

7．过抛物线y=4x²的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若y₁+y₂=5，则线段AB的长为$\frac{41}{8}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|AB|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案．

解答 解：抛物线y=4x²即x²=$\frac{y}{4}$焦点为（0，$\frac{1}{16}$），
设过焦点（0，$\frac{1}{16}$）的直线为y=kx+$\frac{1}{16}$，
则令kx+$\frac{1}{16}$=4x²，
即64x²-16kx-1=0，
由韦达定理得x₁+x₂=$\frac{k}{4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{64}$，
y₁=kx₁+$\frac{1}{16}$，y₂=kx₂+$\frac{1}{16}$，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{8}$=5，
所以k²=$\frac{39}{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{16}+\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{4}$×（1+$\frac{39}{2}$）=$\frac{41}{8}$．
故答案为：$\frac{41}{8}$．

点评 本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理是解题的关键，属于中档题．