Question

17．已知$α∈（0，π），sinα+cosα=\frac{1}{5}$．
（Ⅰ） 求sinα-cosα的值；
（Ⅱ） 求$cos（2α+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出sinα-cosα的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α=-$\frac{24}{25}$，cos2α=-$\frac{7}{25}$，即可求$cos（2α+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ） 因为sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，所以2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，…（2分）
所以α∈（$\frac{π}{2}$，π），（sinα-cosα）²=$\frac{49}{25}$，
所以sinα-cosα=$\frac{7}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α=-$\frac{24}{25}$，cos2α=-$\frac{7}{25}$…（9分）
所以cos（2α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{24}{25}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-7+24\sqrt{3}}{50}$…（12分）

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的三角函数的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．