Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线y=x+2过椭圆C的左焦点F₁．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点A（0，-1）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，当△MON的面积为$\frac{\sqrt{22}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）可得 F₁（-2，0），即c=2．
由离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=2$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=4
即可求得椭圆C的标准方程．
（2）依题意知过点A（0，-1）的直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y=kx-1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程，利用韦达定理得 S_△MON=$\frac{1}{2}|OA|•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+6}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{3}$即可解得k

解答 解：（1）∵直线y=x+2过椭圆C的左焦点F₁．∴F₁（-2，0），即c=2．
由离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=2$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=4
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（2）依题意知过点A（0，-1）的直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y=kx-1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4kx-6=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-6}{1+2{k}^{2}}$
S_△MON=$\frac{1}{2}|OA|•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+6}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{3}$
解得k=±1
直线l的方程为：y=±x-1
 

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，属于中档题．