Question

13．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数y=g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=sin2x•cos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，
得到y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$） 的图象，
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函数g（x）的增区间为[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，诱导公式，余弦函数的单调性，属于基础题．