Question

4．抛物线C：y²=2px（p＞0）与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有相同焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，若直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得：$\frac{p}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．设A（x₀，2x₀）．代入y²=2px．则$4{x}_{0}^{2}$=2px₀，x₀＞0，解得x₀．把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，y＞0．解得y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得p=$\frac{{b}^{2}}{a}$．于是$\frac{{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，进而得出离心率．

解答 解：由题意可得：$\frac{p}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
设A（x₀，2x₀）．代入y²=2px．
则$4{x}_{0}^{2}$=2px₀，x₀＞0，解得x₀=$\frac{p}{2}$．
把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，y＞0．
解得y=$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∴p=$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
化为：$（\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}$+4$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4=0，
解得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-2．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．