Question

19．观察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$；
…
（1）由上述不等式，归纳出与正整数n有关的一个一般性结论：
（2）用数学归纳法证明你得到的结论．

Answer 1

分析 （1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数n（n≥2）有关的一般性结论；
（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可．

解答 解：（1）观察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$=$\frac{4×2}{2×2+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$=$\frac{4×3}{2×3+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$=$\frac{4×4}{2×4+1}$；
…
由上述不等式可得1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{4n}{2n+1}$，
（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．
①当n=1时，由题设可知，不等式显然成立．
②假设当n=k时，不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$，
那么，当n=k+1时，有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$
=$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+2）（2k+2）}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{4k（2k+3）+4}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2{k}^{2}+3k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2k+1）（k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（k+1）}{2k+3}$．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任何n∈N₊都成立．

点评 本题考查归纳推理以及数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力，放缩法的应用．