Question

20．已知f（x）=lnx-ax-b
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性
（Ⅱ）当a＞0时，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，求证：ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，由a＞0和a≤0分类讨论，利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）由a＞0得f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b，从而lna+b≤-1，当b≤0时，ab≤0＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，当b＞0时，设h（x）=lnx-x，则h′（x）=$\frac{1}{x}-1$，h（x）_max=h（1）=ln1-1=-1，从而lnab=lna+lnb=（lna+b）+（lnb-b）≤lna+b-1≤-2，由此能证明ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax-b，
∴x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$），减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）的增区间为（0，+∞）．
证明：（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知，当x=$\frac{1}{a}$时，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b，
∵存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0成立，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1-b≥0，即lna+b≤-1，
当b≤0时，ab≤0＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
当b＞0时，设h（x）=lnx-x，则h′（x）=$\frac{1}{x}-1$，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）_max=h（1）=ln1-1=-1，
∴lnab=lna+lnb=（lna+b）+（lnb-b）≤lna+b-1≤-2，
∴ab≤$\frac{1}{{e}^{2}}$．
综上：ab$≤\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、函数最值、构造法等基础知识，考查推量论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．